高中数学圆的知识

高中数学圆的知识汇总

　　导语：高中数学圆的知识总结知识点汇全，欢迎大家参考借用!祝大家在高考中取得好成绩!

　　高中数学圆与圆的位置关系知识点例题总结

　　【典型例题】

　　例1.已知半径分别为R和r(R>r)的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则R：r等于()

　　A.

　　B.

　　C.

　　D.

　　解：连结O1A、O2B、O1O2(如图所示)，则O1A⊥AB，O2B⊥AB，O1O2过点P且平分∠APC，过点O2作O2E⊥O1A，则O2E∥AB

　　∴∠O1O2E=∠O1PA=45°，

　　∴△O1O2E是等腰直角三角形。

　　∴

　　，

　　∵

　　，

　　∴

　　∴

　　，

　　∴

　　，故选C。

　　点拨：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题。

　　例2.如图所示，⊙O1与⊙O2内切于点A，并且⊙O1的半径是⊙O2的直径，O1B为⊙O1的半径，交⊙O2于点C，AD是公切线，∠O1AC=50°，则∠BAD=()

　　A. 50° B. 40° C. 25° D. 20°

　　解：∵O1A是⊙O2的直径，

　　∴∠ACO1=90°

　　又∵∠O1AC=50°

　　∴∠O1=40°

　　又∵DA是两圆的公切线，∠DAB和∠DAC分别是⊙O1、⊙O2的弦切角，

　　∴

　　故选D。

　　点拨：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新。

　　例3.已知两圆的半径分别为8和6，如果两圆的`圆心距为14，则两圆的公切线条数有____________。

　　解：由题意知两圆的圆心距等于两圆的半径之和，则两圆外切，共有3条公切线，故应填3。

　　例4.两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则外公切线长为_____________。

　　解：如图所示，连结O1A、O2B，过点A作AC∥O1O2，则∠BAC=30°，AC=O1O2=10cm，

　　在Rt△ABC中，

　　，

　　故应填

　　cm。

　　点拨：公切线、两圆的半径之差(或和)和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。

　　例5.已知两圆外离，圆心距为25cm，两圆的周长分别为15

　　和

　　，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于_____________。

　　解：如图所示，过点O1作O1C∥AB，交O2B的延长线于C，

　　∵两圆的周长分别为15πcm和10πcm，

　　∴两圆的半径分别为

　　，

　　∴

　　，

　　又∵

　　∴在Rt△O1CO2中，

　　sin∠O2O1C=

　　，

　　∴∠O2O1C=30°，故应填30°。

　　例6.如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则∠AMB=_________。

　　解：如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C，

　　∵AB是两圆的公切线，

　　∴CA=CM=CB

　　∴∠CAM=∠CMA

　　∠CBM=∠CMB，

　　∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180°

　　∴∠CMA+∠CMB=90°

　　即∠AMB=90°，故填90°

　　点拨：本题是一道典型题，可作为一般的结论记忆。

　　高中数学圆与圆的位置关系知识点总结

　　[学习目标]

　　1.掌握圆与圆的五种位置关系，类比于点与圆，直线与圆的位置关系，能通过两圆半径r1，r2及圆心距d三者的数量关系，判断两圆位置关系，或通过位置关系，判断数量关系。

　　2.在数轴上表示当d在不同位置时，两圆的位置关系。

　　3.在证明两圆的或多圆的图形时，常加的辅助线：公共弦、公切线;圆心距，连心线。

　　4.当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦。

　　当两圆内切时，连心线垂直于公切线。

　　当两圆外切时，连心线垂直于内公切线。

　　5.公切线是指两个圆公共的切线，如果两圆在公切线同旁则称外公切线，如果两圆在公切线两旁则称内切线。公切线上两切点间线段的长叫公切线长。

　　6.如图内公切线长

　　(外离时)

　　外公切线长

　　(外离、外切、相交时)

　　d圆心距 R大圆半径 r小圆半径 R≥r

　　7.公切线条数

　　①内含

　　0条

　　②内切

　　1条

　　③相交

　　2条

　　④外切

　　3条

　　⑤外离

　　4条

　　8.圆的全章复习

　　(1)圆的基础知识

　　①圆的有关概念：

　　弦，弧，半圆，弓形，弓形高，等弧(隐含同圆等圆)，弦心距，直径等。

　　②圆的确定

　　圆心决定位置，半径决定大小，不共线的三点确定一个圆。

　　注意：作图(两边中垂线找交点)，外心的位置，外心到三角形各顶点距离等

　　③圆的对称性：轴对称，中心对称，旋转不变性

　　(2)圆与其它图形

　　<1>点与圆三种

　　<2>直线与圆

　　①一条直线与圆三种

　　②两条直线与圆

　　③三条直线与圆

　　三角形内切圆与圆外切三角形

　　三角形内心(角平分线交点)位置永远在三角形内部

　　到三角形各边距离相等

　　④四条直线与圆

　　圆外切四边形两组对边的和相等

　　<3>两圆与直线

　　两圆外切时连心线过内公切线切点与该切线垂直。

　　两圆内切时连心线过切点，垂直于过切点的切线。

　　两圆相交时，连心线垂直于公共弦，并且平分公共弦。

　　(3)定理

　　<1>垂径定理及推论：过圆心;垂直弦;平分弦(非直径);平分优弧;平分劣弧;知2求3。

　　<2>圆心角，弦，弦心距，弧之间关系：同圆等圆中知1得3。

　　<3>与圆有关的角：圆心角，圆周角，弦切角，圆内角，圆外角，圆内接四边形外角，内对角，对角

　　<4>切线的判定、性质：

　　①判定：常见的证法连半径，证垂直，判断切线，

　　“连垂切”

　　或作垂直证d=r

　　②性质：若一条直线满足过圆心、过切点，垂直于切线中任意两条，可得另外一条。

　　常见“切连垂”

　　<5>和圆有关的比例线段：

　　相交弦定理及推论，切割线定理及推论，圆幂定理

　　(4)和圆有关的计算

　　<1>求线段

　　①直径、半径

　　②垂径定理：求弦长、弦心距、拱高

　　③切线长、公切线长(外公切线长，内公切线长)

　　④直角三角形内切圆半径

　　⑤任意三角形内切圆半径与面积、周长的关系

　　⑥等边三角形内切圆半径：外接圆半径=1：2

　　⑦与圆有关的比例线段、弦长、切线长等

　　<2>求角

　　圆心角，圆周角，弦切角，两切线夹角，公切线夹角

　　(5)常见辅助线

　　半径、直径、弦心距、“切连垂”、连心线、公共弦、公切线

　　(6)圆中常见图形

　　直角三角形等腰三角形圆内接四边形相似三角形